Ejercicios Resueltos De Identidades Trigonométricas
Bienvenidos a nuestro blog de matemáticas, en el cual hoy hablaremos sobre ejercicios resueltos de identidades trigonométricas. Las identidades trigonométricas son fundamentales en el estudio de las funciones trigonométricas, y es importante conocer cómo resolverlas para tener éxito en esta área de las matemáticas. En este artículo, presentaremos algunos ejercicios resueltos de identidades trigonométricas que esperamos sean de gran ayuda para aquellos que buscan mejorar sus habilidades en matemáticas.
Identidades Básicas
Ejercicio 1:
Demostrar la identidad: cos²x + sen²x = 1
Solución: Utilizando la definición de las funciones trigonométricas, sabemos que:
Entonces, tenemos:
cos²x + sen²x = cos(x) * cos(x) + sen(x) * sen(x)
Aplicando la identidad pitagórica, sabemos que:
cos²x + sen²x = 1 * (cos²x + sen²x)
Por lo tanto, la identidad se demuestra.
Ejercicio 2:
Demostrar la identidad: 1 + tan²x = sec²x
Solución: Sabemos que:
Entonces, tenemos:
1 + tan²x = 1 + (sen(x) / cos(x))²
Aplicando la identidad pitagórica, sabemos que:
1 + tan²x = (cos²x + sen²x) / cos²x
Aplicando la identidad del ejercicio 1, sabemos que:
1 + tan²x = 1 / cos²x
Por lo tanto, la identidad se demuestra.
Identidades Complementarias
Ejercicio 3:
Demostrar la identidad: cos(x) = sen(π/2 - x)
Solución: Sabemos que:
Por lo tanto, la identidad se demuestra.
Ejercicio 4:
Demostrar la identidad: tan(x) = cot(π/2 - x)
Solución: Sabemos que:
Entonces, tenemos:
tan(x) = sen(x) / cos(x) = 1 / (cos(x) / sen(x)) = 1 / cot(x)
Aplicando la identidad complementaria del ejercicio 3, sabemos que:
tan(x) = 1 / cot(x) = cot(π/2 - x)
Por lo tanto, la identidad se demuestra.
Identidades de Suma y Diferencia
Ejercicio 5:
Demostrar la identidad: cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sen(x) * sen(y)
Solución: Sabemos que:
Por lo tanto, la identidad se demuestra.
Ejercicio 6:
Demostrar la identidad: sen(x + y) = sen(x) * cos(y) + cos(x) * sen(y)
Solución: Sabemos que:
Por lo tanto, la identidad se demuestra.
Identidades de Doble Ángulo
Ejercicio 7:
Demostrar la identidad: cos(2x) = cos²x - sen²x
Solución: Sabemos que:
Entonces, tenemos:
cos(2x) = cos(x) * cos(x) - sen(x) * sen(x)
Aplicando la identidad del ejercicio 1, sabemos que:
cos(2x) = cos²x - (1 - cos²x)
Por lo tanto, la identidad se demuestra.
Ejercicio 8:
Demostrar la identidad: sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x)
Solución: Sabemos que:
Entonces, tenemos:
sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x)
Por lo tanto, la identidad se demuestra.
Conclusión
En este artículo, presentamos algunos ejercicios resueltos de identidades trigonométricas. Esperamos que esta información haya sido de gran ayuda para aquellos que buscan mejorar sus habilidades en matemáticas. Las identidades trigonométricas son fundamentales en el estudio de las funciones trigonométricas, y es importante conocer cómo resolverlas para tener éxito en esta área de las matemáticas. Recuerda que la práctica es la clave para tener éxito en cualquier área de las matemáticas.
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