Binomio De Newton Demostracion

Demostración del binomio de Newton YouTube from www.youtube.com

Bienvenidos a nuestro blog de noticias y tutoriales del año 2023. Hoy hablaremos sobre el binomio de Newton y su demostración. El binomio de Newton es una fórmula matemática que se utiliza para calcular el resultado de una potencia de un binomio. Esta fórmula es muy útil en la estadística y en la física para resolver problemas complejos. Aquí te explicaremos cómo funciona y su demostración.

¿Qué es el binomio de Newton?

El binomio de Newton es una fórmula matemática que se utiliza para calcular el resultado de una potencia de un binomio. Un binomio es una expresión matemática que tiene dos términos. Por ejemplo, (a + b) es un binomio, donde a y b son variables. La fórmula del binomio de Newton se utiliza para calcular el resultado de una expresión del tipo (a + b)^n, donde n es un número entero positivo.

¿Cómo funciona el binomio de Newton?

El binomio de Newton se puede expresar como:

(a + b)^n = ΣnCi * a^(n-i) * b^i

Donde:

n es un número entero positivo

i es un número entero que va desde 0 hasta n

ΣnCi es la suma de los coeficientes binomiales de n en i

a^(n-i) es la potencia de a elevada a la diferencia entre n e i

b^i es la potencia de b elevada a i

Coeficientes binomiales

Los coeficientes binomiales son números que se utilizan para calcular la suma de las combinaciones posibles de n elementos tomados de i en i. Se denotan como nCi y se calculan como:

nCi = n! / (i! * (n-i)!)

Donde:

n! es el factorial de n

i! es el factorial de i

(n-i)! es el factorial de la diferencia entre n e i

Ejemplo de aplicación del binomio de Newton

Supongamos que queremos calcular el resultado de (a + b)^3. Para ello, utilizamos la fórmula del binomio de Newton:

(a + b)^3 = Σ3Ci * a^(3-i) * b^i

Calculamos los coeficientes binomiales:

3C0 = 1

3C1 = 3

3C2 = 3

3C3 = 1

Sustituimos en la fórmula:

(a + b)^3 = 1 * a^3 * b^0 + 3 * a^2 * b^1 + 3 * a^1 * b^2 + 1 * a^0 * b^3

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Por lo tanto, el resultado de (a + b)^3 es a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

Demostración del binomio de Newton

La demostración del binomio de Newton se realiza utilizando el principio de inducción matemática. El principio de inducción matemática se basa en demostrar una propiedad matemática para el caso base (n=1) y luego demostrar que si la propiedad es cierta para un número entero positivo n, entonces también lo es para n+1. En el caso del binomio de Newton, la propiedad que se demuestra es:

(a + b)^n = ΣnCi * a^(n-i) * b^i

Para n=1, la propiedad es:

(a + b)^1 = a^1 + b^1

Σ1Ci * a^(1-i) * b^i = 1C0 * a^1 * b^0 + 1C1 * a^0 * b^1 = a + b

Por lo tanto, la propiedad es cierta para n=1.

Supongamos ahora que la propiedad es cierta para un número entero positivo n. Es decir:

(a + b)^n = ΣnCi * a^(n-i) * b^i

Queremos demostrar que la propiedad también es cierta para n+1. Es decir:

(a + b)^(n+1) = Σ(n+1)Ci * a^((n+1)-i) * b^i

Utilizando la fórmula del binomio de Newton, podemos expresar (a + b)^(n+1) como:

(a + b)^(n+1) = (a + b) * (a + b)^n

(a + b)^(n+1) = (a + b) * ΣnCi * a^(n-i) * b^i

(a + b)^(n+1) = ΣnCi * a^(n+1-i) * b^i + ΣnCi * a^(n-i) * b^(i+1)

(a + b)^(n+1) = ΣnCi * a^(n+1-i) * b^i + Σ(n-1)Ci * a^(n-i) * b^(i+1) + a^n * b^0 + a^0 * b^n

(a + b)^(n+1) = Σ(n+1)Ci * a^((n+1)-i) * b^i

Por lo tanto, hemos demostrado que la propiedad también es cierta para n+1. Con lo cual, hemos demostrado que el binomio de Newton es válido para cualquier número entero positivo n.

Conclusión

En conclusión, el binomio de Newton es una fórmula matemática muy útil para calcular el resultado de una potencia de un binomio. Su demostración se realiza utilizando el principio de inducción matemática. Es importante entender cómo funciona esta fórmula para poder aplicarla en problemas complejos de estadística y física. Esperamos que este tutorial haya sido útil para ti.

¡Gracias por leernos!

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